Применение
преобразования Фурье для вычисления "коленчатости" соединения роторов
Кузиванов
В.И., инженер Лаборатория вибрации
ПРФ "Иркутскэнергоремонт" E-mail:vkuzivanov@ier.irka.elektra.ru
Измерение величины "коленчатости" соединения роторов
является обязательной технологической операцией, проводимой при ремонтах,
связанных с разборкой и последующей сборкой жёстких и полужёстких муфт.
Влияние "коленчатости" на работу турбоагрегатов описано в [1] и др. С физической точки зрения величина "коленчатости" равна расстоянию между осями вращения роторов в сечении контакта полумуфт и возникает вследствие дефектов соединения. Методика измерения и вычисления "коленчатости" даётся в технической литературе [2,3] и др. Измерения проводятся с разборкой и без разборки муфт. Разборка муфт проводится в тех случаях, когда удаление одного из вкладышей вызывает прогиб муфты или ротора и задевания за уплотнения. В [2] отмечается, что упрощенные суррогаты данной технологии недопустимы. Далее рассматривается метод вычисления "коленчатости" для измерений с разборкой муфт [3].
Геометрически, величина "коленчатости" равна модулю разности векторов смещения соединяемых полумуфт. Вектор смещения полумуфты в результате сборки одинаков для всех точек полумуфты. В [3] в качестве контролируемой при сборке точки выбран геометрический центр полумуфты (далее сокращённо ГЦП). Соответственно вектор смещения имеет начало и конец в точках, соответствующих положению ГЦП до и после сборки. Положение ГЦП, определяется путём измерения радиального боя полумуфт при полном повороте соединяемых роторов.
Вследствие дефектов поверхностей поясков, по которым измеряется бой полумуфт, вычисление "коленчатости" представляет достаточно трудную задачу. Получаемые по замерам радиального боя контуры поверхности контрольных поясков могут сильно отличаться от формы окружности. В ряде случаев невозможно точное вычисление "коленчатости" путём графического построения [3]. По этой же причине даёт ошибку при вычислении "коленчатости" метод построения "верёвочных многоугольников"[7], применимый только для случая полумуфт с идеальной поверхностью контрольного пояска. Опытные специалисты при измерении "коленчатости" всегда отдают предпочтение методике вычисления [3], но при этом смещение полумуфт определяют с учётом реальной геометрической формы контрольных поясков.
Ниже рассматривается вычисление величины "коленчатости" с применением преобразования Фурье, которое позволяет существенно облегчить и повысить точность расчётов.
При полном повороте роторов на 3600 по N точкам разметки получаем последовательность значений АNболт, А1болт, А2болт,А3болт….АNболт радиального боя полумуфт. С математической точки зрения данная последовательность представляет собой периодическую функцию с периодом, равным длине окружности или 360°, с N+1 точкой замеров. В то же время любая периодическая функция может быть представлена в виде ряда Фурье [5]
y(t)=A0/2+∑(Ak·sin(2pkt/T)+Bk·cos(2pkt/T)) (1)
где k- номер гармоники, Т- период функции. Коэффициенты разложения(1) есть интегралы по переменной t от 0 до Т:
A0=1/2∫y(t)dt, Ak=∫y(t) sin(2pkt/T)dt, Bk=∫y(t) cos(2pkt/T)dt
Мы будем пользоваться модификацией этого разложения в виде
y(t)=A0/2+∑Mk·cos(2pkt/T+Φk) (2)
где Mk=(Ak2+Bk2)1/2 - амплитуда и Φk=arctg(Bk/Ak) - фаза k- ой гармоники.
Суммирование ∑ в (1,2) проводится по k от 1 до бесконечности.
OB =|e|·cosΦ+( R2-(|e|·sinΦ)2)1/2
При условии малости смещения центра окружности по сравнению с её радиусом, используя разложение в степенной ряд по параметру
(|e| /R)<<1, (3)
получаем
OB=R- (e)2/(2·R)+| e|·cosΦ - (|e| /R) ·|e|·cos2Φ +0(|e| /R) 2 (4)
где 0(|e|/R) 2 представляет сумму членов разложения 2-ого и выше порядка малости по параметру (|e|/R).
Отсюда следует, что в пренебрежении малыми членами (|e|/R)<< 1, радиальный бой полумуфты идеальной формы при её повороте вокруг точки О на угол Φ будет описываться выражением
А(Φ)= const +|e|·cos (Φ+Φ1), (5)
где |e| - модуль вектора смещения центра полумуфты, Φ1 - угол между вектором смещения центра полумуфты e и прямой OC в исходной точке ( в начале проведения замеров, когда индикатор находится в N -ой точке разметки полумуфты), Φ - текущее значение угла поворота полумуфты относительно начального положения. Следовательно, разложение Фурье последовательности измеренных значений радиального боя АNболт, А1болт, А2болт,А3болт….АNболт полумуфты идеальной формы будет иметь только гармонику k=1
y(t)=a0/2+M1·cos(2pt/T+Φ1) (6)
где t=Φ, T=2π. При этом амплитуда первой гармоники равна модуля вектора смещения центра полумуфты относительно оси вращения M1=| e |, а фаза Φ1 равна углу вектора смещения относительно N -ой точки разметки на полумуфте (при условии начала замеров с точки N).
Смещение центра идеальной полумуфты в рассматриваемом приближении (3,4) даё т вклад в амплитуду k-ой гармоники (k>1) порядка величины
ΔMk=(|e | /R)k
При реальных значениях для роторов паровых турбин, |e| =0,03мм и R=300мм,
(|e| /R)=10-4 .
Следовательно, при отклонении поверхности полумуфты от окружности гармонические составляющие будут отражать только форму поверхности полумуфты и практически не зависят от величины вектора смещения e.
Таким образом, применение разложения Фурье для анализа радиального боя реальных полумуфт даёт значение вектора смещения ГЦП e, который определяется амплитудой и фазой 1-ой гармоники. Гармоники с k>1 описывают отклонение формы полумуфты от окружности. Постоянная составляющая Фурье-разложения (2) не несёт полезной информации, т.к. невозможна фиксация индикатора при проведении замеров.
Разность значений векторов смещения eA0 и eA1, eB0 и eB1 полумуфт А , В до и после сборки даёт значения векторов смещений полумуфт А и В после соединения роторов
uA = eA1 - eA0 , (7а)
uB = eB1 - eB0 (7в)
Величину "коленчатости" соединения роторов EAB даёт разность векторов смещений uA и uB соединяемых полумуфт
EAB= uA - uB (8)
Т.к. гармоники разложения Фурье с k>1 практически не зависят от вектора смещения e, члены разложения боя (2) для одной и той же полумуфты до и после сборки с k>1 должны совпадать. Т.е. величины модулей разности
|MkA0- MkA1| и |MkB0- MkB1| для k=2,3,4,… (9)
дают оценку погрешности замеров по каждой из полумуфт.
Безусловно, при практической реализации данного метода необходимо учитывать бой шеек роторов у соединяемых полумуфт и исключить все погрешности измерений. Этот способ требует высокой точности индицирования и аккуратности при выполнении измерений [2]. Учёт боя шеек роторов при использовании разложения Фурье проводится путём вычитания из значения боя полумуфты смещения шейки ротора. Измерения проводятся по классической методике, представленной рис.1, 2:
1. Измерение радиального боя полумуфт производятся до и после разболчивания по одним и тем же пояскам без выкатывания нижних половин вкладышей подшипников.
2. Разметка точек измерения на обеих полумуфтах должна быть одинаковой и совпадать с нумерацией призонных болтов.
3. Индикаторы при измерениях ставятся на горизонтальный разъём корпуса опоры подшипников, измерения боя проводятся как можно ближе к оси вращения роторов в горизонтально-поперечном направлении. Ось ножки индикатора устанавливать параллельно плоскости горизонтального разъёма и как можно ближе к ней. Величина h высоты ножки индикатора над разъёмом для роторов D>150мм.допускается до h =15мм (см.рис.1).
4. Перед началом замеров следует убедиться в отсутствии перемещения вкладышей в расточке корпуса подшипника!
5. Применение индикаторов №2, №3 позволяет учесть и исключить из расчётов влияние наката шеек роторов (см. рис.2) У=У1-(У2-У3)/2. Где У1, У2, У3 -показания индикаторов при замере согласно рис.2.
6. Величина боя записывается в формуляр в 0.01мм.
Рис.1 Рис.2
Рис.1 Установка индикаторов при измерении боя шеек и полумуфт для измерения "коленчатости" соединения роторов.Рис.2 Схема установки индикаторов при измерении боя шеек и полумуфт для измерения "коленчатости" соединения роторов.
Автором реализована программа вычисления "коленчатости" соединения роторов на РС. Программа написана на языке программирования QBASIC. В качества подпрограммы, выполняющей вычисления коэффициентов разложения ряда Фурье, использован алгоритм последовательно-параллельного дискретного преобразования Фурье [6]. Применение БФП в данном случае нерационально, т.к. оно требует ввода числа точек замеров 2n. Применение программы показало, что для практических целей достаточно использование 10 гармоник разложения. В реализованной программе предусмотрена оценка погрешности замеров по каждой полумуфте путем вычисления максимального значения последовательности параметров (9) с k=2..L, где L число гармоник разложения в расчётах. Проверка проведена на примере расчё та "коленчатости" [3], результат вычислений по данным примера (данные в 0,01мм.):
· Смещение п/муфты А при сборке
· Модуль= 13.37172 Направление= 50.316 град.
· Смещение п/муфты В при сборке
· Модуль= 4.743133 Направление= 223.6461 град.
· Вектор коленчатости соединения полумуфт А и В.
· Модуль= 18.09113 Направление= 48.57132
· Ошибка замеров на п/муфте А= 1.87 Ошибка замеров на п/муфте В= 1.02
Векторы смещения и коленчатости даются в полярной системе координат, т.е. представлены модулем и углом. Угол отсчитывается от последнего призонного болта N в сторону роста номера точек разметки. Направление вектора смещения легко привязывается к положению точек разметки полумуфт. Пример: угол 60град, число болтов 12, тогда интервал между точками разметки равен 360/12=30град, т.е. угол 60град. Совпадает с положением точки разметки №2.
Выводы:
1. Показана возможность применения преобразования Фурье для вычисления "коленчатости" соединения роторов паровых турбин.
2. Показан способ контроля погрешности, получаемой при измерений боя полумуфт для определения "коленчатости", при использовании Фурье-преобразования данных замеров.
Список литературы:
1. А.С.Гольдин, Вибрация роторных машин, М., Машиностроение,1999г.,с.52-55,130-140
2. А.С.Гольдин, Вибрация роторных машин, М., Машиностроение,1999г.,с.230-234
3. Руководящие указания по проверке и ремонту соединительных муфт паровых турбин. Союзглавэнерго СССР, Бюро технической информации ОРГРЭС, М. 1969г. с.16-20
4. Н.Н.Северов, Ремонт роторов паровых турбин, М., Государственное энергетическое издательство,1959г.,с.130-145
5. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров.М.,"Наука", 1973г., с.146-150
6. В.П.Дьяконов. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ. М.,"Наука", 1987г.,с.122-125
7. Формуляр проверки несоосности соединения роторов турбинного цеха с/п "Востокэнергоремонт".
